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思わず声に出して読みたくなるブログ

H.30京大院試数学専門2

なんかタイトルもう少しまともにしたいね
http://taiyakizyanai.blog.fc2.com/blog-entry-272.htmlこの記事にだいたい載ってたので詰める
京大院試の代数学の解説リンク集が別記事にあるから良かったらそっちも見てね

NとHの位数から

$N∩H=\{1\}$
$NH=G$

が従う（前者は積集合の元の位数、後者はNHが位数 $p^m$ と $k$ の公倍数のGの部分群であることから）

よってHがGの正規部分群であることが示せればよい

Nの生成元をgとおくと、N:正規より
$∀h∈H　∃a∈Z　hgh^{-1}=g^a$
が成立する
$a=1$ が示せれば、HとNの元の可換性が言えるので終わり

上の式から
$h^2 g h^{-2}=g^{a^2}$
が言えて、同様の操作を繰り返して変形すると
$g^{a^k}=h^kgh^{-k}=g$
が言える（hの位数はkの約数なので）

$∴g^{a^k-1}=1$
$∴a^k≡1(mod:p^m)$
$∴a∈(Z/p^mZ)^×$
$(Z/p^mZ)^×$ の位数は $(p-1)p^{m-1}$ であるから
$ord(a)|(p-1)p^{m-1}$
$ord(a)|k$ 　（4つ上の行から）
$gcd(k,p(p-1))=1$
$∴ord(a)=1$
$a$ はもともとただの整数だったのを $(Z/p^mZ)^×$ の元として見ることで位数から $a=1$ が導かれるのがすごいね
$p^2-p=p(p-1)$ から $p-1$ が何に使うかを考えれば乗法群が浮かぶんかなぁ
証明は追えるけど考察フローが全然わからん